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Prove that $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$.
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LHS $= \sin^6\theta+ \cos^6 \theta$
$= (\sin^2\theta)^3 +(\cos^2\theta)^3$ ($\frac{1}{2}$)
$= (\sin^2\theta+ \cos^2\theta)[(\sin^2\theta)^2 + (\cos^2\theta)^2 - \sin^2\theta\cos^2\theta]$ (1)
$= \sin^4\theta+ \cos^4\theta-\sin^2\theta\cos^2\theta$
$= (\sin^2\theta+ \cos^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta - \sin^2\theta\cos^2\theta$ (1)
$= 1 - 3 \sin^2\theta\cos^2\theta$ (1)
$= RHS$ ($\frac{1}{2}$)
$= (\sin^2\theta)^3 +(\cos^2\theta)^3$ ($\frac{1}{2}$)
$= (\sin^2\theta+ \cos^2\theta)[(\sin^2\theta)^2 + (\cos^2\theta)^2 - \sin^2\theta\cos^2\theta]$ (1)
$= \sin^4\theta+ \cos^4\theta-\sin^2\theta\cos^2\theta$
$= (\sin^2\theta+ \cos^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta - \sin^2\theta\cos^2\theta$ (1)
$= 1 - 3 \sin^2\theta\cos^2\theta$ (1)
$= RHS$ ($\frac{1}{2}$)